Boy'sche Fl?che
Die reelle projektive Ebene RP2RP2 besteht aus den eindimensionalen Unterr?umen des R3R3 als Punkten und den zweidimensionalen Unterr?umen des R3R3 als Geraden. Man kann sich RP2RP2vorstellen, indem man auf der Einheitssph?re S2:={x∈R3:∥x∥=1}S2:={x∈R3:‖x‖=1} gegenüber liegende Punkte miteinander identifiziert, x～?xx～?x. Die resultierende Quotientenmenge S2/～S2/～ ist nicht-orientierbar. Wie alle nicht-orientierbaren Fl?chen (vgl. z.B. Kleinsche Flasche), so kann auch RP2RP2 nicht in den R3R3 eingebettet werden. Die Boy'sche Fl?che stellt jedoch immerhin eine Immersion RP2→R3RP2→R3 dar. Im Jahr 1901 fand der Mathematiker Werner Boy die nach ihm benannte Fl?che. Erst 1978 lieferte Bernard Morin eine erste Parametrisierung der Fl?che. ?berblick: |
Links:
- Boy'sche Fl?che (Wikipedia)
- Weitere Immersionen RP2→R3RP2→R3 (Universit?t Wien, S. 73 ff.)
- siehe auch: Kreuzhaube sowie Steiner'sche Fl?che
- Bastelanleitung (Universit?t Toulouse)
- Visualisierung (YouTube)
Weiterführende Literatur:
- Boy, W. ?ber die Curvatura integra und die Topologie geschlossener Fl?chen. Mathematische Annalen, Volume 57, Issue 2, pp. 151-184, 1903
- Carter, J.S. A further generalization of Boy's surface. Houston Journal of Mathematics, Volume 12, No. 1, pp. 11-31, 1986
- Apéry, F. The Boy Surface. Models of the Real Projective Plane, Vieweg + Teubner, 1987
- Beutelspacher, A. und Rosenbaum, U. Projective Geometry: from foundations to applications. Cambridge University Press, 1998
- online verfügbar
- Kossowski, M. A generalization of Boy's theorem for surfaces in Euclidean 3-space. C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can., Volume 23, No. 3, pp. 65-70, 2001
- Goodman, S. und Kossowski, M. Immersions of the projective plane with one triple point. Differential Geometry and its Applications, Volume 27, Issue 4, pp. 527-542, 2009